【ゲーム数学】第一回 p5.jsで学ぶゲーム数学「二次元ベクトル」

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PC創作
マイケル
マイケル
みなさんこんにちは!
マイケルです!
エレキベア
エレキベア
クマ〜〜〜
マイケル
マイケル
今日から新しいシリーズとして
ゲーム数学シリーズ を始めるよ!
エレキベア
エレキベア
す、数学クマか・・・!
勉強は嫌クマ・・・!!
マイケル
マイケル
最近はゲームエンジンの普及で数学や物理の知識があまり無くてもゲームを作れる時代になってきたけど、最低限の基礎知識として学んでおくに越した事はないと思うんだ!
マイケル
マイケル
それに俺もこれまで真剣に勉強してこなかったけど、
数式をプログラミングして、動きを確認しながら進めたらめちゃくちゃ楽しいと思えたんだ!
マイケル
マイケル
共にがんばっていこうぜ電気熊よ・・・。
エレキベア
エレキベア
(電気熊・・・・。)
そ、そこまでいうなら付き合うクマ・・・。
マイケル
マイケル
それじゃ第一回は「二次元ベクトル」だ!
基礎からがんばっていこう!!
エレキベア
エレキベア
クマ〜〜〜〜〜
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参考書籍と開発言語

マイケル
マイケル
勉強にするにあたっては、下記参考書を参考にしました!

ゲームを動かす数学・物理 R

グラフィックスプログラミング入門

マイケル
マイケル
どちらも高校数学の基礎から解説しているため、しばらく数学から離れている方でも読みやすいと思います!
エレキベア
エレキベア
一読してみるクマ
マイケル
マイケル
そしてサンプルプログラムの実装としては p5.js を使用しました!
こちらは Processing という グラフィックスに特化した開発環境をJavaScriptに移植したものです!
p5.jsとは
  • Processing(グラフィックス処理に特化した開発環境)をJavaScriptに移植したもの
Screenshot 2021 01 16 23 15 46

p5.js ダウンロードページ

エレキベア
エレキベア
これを使ってJavaScriptで実装するクマね
マイケル
マイケル
描画系の処理が簡単に実装できるし、ブラウザ上で最低限のコーディングもできるから初心者の方にもおすすめです!
サンプルプログラムはコードと一緒に載せておくのでご自由にお使いください!
エレキベア
エレキベア
クマ〜〜〜〜〜
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二次元ベクトル

マイケル
マイケル
それじゃ早速勉強に入るぞ〜〜!
エレキベア
エレキベア
気合入れて取り掛かるクマ

座標とベクトル

マイケル
マイケル
まずは座標ベクトルについて!
マイケル
マイケル
一言で説明すると、

 座標 → (x, y)で表す位置
 ベクトル → (x, y)で表す方向

で、それぞれ
ある一点を(0, 0)と置いたときに表すことのできる値
のことだよ!
エレキベア
エレキベア
どっちも同じ書き方をするクマね
マイケル
マイケル
同じ書き方だけど、意味は異なるんだ!
座標は位置、ベクトルは方向 と覚えるといいよ!
Screenshot 2021 01 16 23 48 36
↑座標とベクトル
マイケル
マイケル
上の図でいうと、xyどちらも5の位置にあるから座標は(5, 5)
xy方向どちらにも5向かっているからベクトルは(5, 5) という意味になるよ!
エレキベア
エレキベア
なんとなくわかったクマ
マイケル
マイケル
そしてプログラミングする上で注意しないといけないのは、
コンピュータの世界では座標軸が一般的な数学と異なること!
Screenshot 2021 01 16 23 44 23
↑一般的な座標(左)、コンピュータでの座標(右)
マイケル
マイケル
上の図のように、コンピュータではディスプレイの構造上、
左上を(0, 0)と置いて、yは下方向を正とすることが多いんだ!
エレキベア
エレキベア
処理しやすいように合わせているクマね
マイケル
マイケル
下に座標位置を表示するサンプルプログラムを載せたから、
値の変化を触って確認してみてね!

See the Pen
0116_01
by masarito617 (@masarito617)
on CodePen.

↑座標位置表示プログラム (※マウスクリックで座標を移動できます)

マイケル
マイケル
実装は以下のように、座標とベクトルのクラスを作成して値を設定しています!
変数は同じだけど意味は異なるため、クラスを分けているよ!
// 座標クラス
class Point {
  constructor (_x, _y) {
    this.x = _x;
    this.y = _y;
  }
}

// ベクトルクラス
class Vec {
  constructor (_x, _y) {
    this.x = _x;
    this.y = _y;
  }
}
マイケル
マイケル
そしてベクトルの大きさは 終点座標 – 始点座標 で求めることができます。
下記のように引数として座標を渡すよう実装しています!
// p1->p2方向のベクトルを求める
function point2Vec(p1, p2) {
  // p2 - p1
  return new Vec(p2.x-p1.x, p2.y-p1.y);
}
エレキベア
エレキベア
だんだん掴んできたクマ〜〜〜〜

ベクトルの四則演算

マイケル
マイケル
概要が分かったところで、ベクトルの計算に入っていきましょう!
加算・減算
マイケル
マイケル
ベクトル同士の加算・減算は、それぞれのx、y要素同士をそのまま計算するのみ!
2つのベクトルをそれぞれv1、v2とすると、

 v1 + v2 = (v1.x + v2.x, v1.y + v2.y)
 v1 – v2 = (v1.x – v2.x, v1.y – v2.y)

になるよ!
Screenshot 2021 01 17 0 19 30
↑ベクトルの加算(左)、ベクトルの減算(右)
エレキベア
エレキベア
それぞれのベクトルの方向分変化するクマね
マイケル
マイケル
これもプログラムでシミュレートしてみたから、
値を変えてどのように変わるか試してみてね!

See the Pen
0116_02
by masarito617 (@masarito617)
on CodePen.

↑ベクトルの加算・減算

マイケル
マイケル
プログラムで表すと計算式は以下のようになります!
2つのベクトルを引数として渡して返却するようにしています。
// ベクトル+ベクトル
function addVec(v1, v2) {
  return new Point(v1.x + v2.x, v1.y + v2.y);
}

// ベクトル-ベクトル
function subVec(v1, v2) {
  return new Point(v1.x - v2.x, v1.y - v2.y);
}
 
  // ベクトル + ベクトル
  v3 = addVec(v1, v2);
  // ベクトル - ベクトル
  v4 = subVec(v1, v2);
エレキベア
エレキベア
足し算引き算は完了クマ〜〜
乗算・徐算
マイケル
マイケル
次に乗算・除算ですが、
ベクトルには スカラー を使って計算するのが一般的です。
エレキベア
エレキベア
スカラーって何クマ??
マイケル
マイケル
スカラーは力の大きさの定義で、一つの数字で定義するんだ!
これもベクトルの各要素に対して乗算・除算を行ってあげるだけで、

 v1 * s = (v1.x * s, v1.y * s)
 v1 / s = (v1.x / s, v1.y / s)

のように計算できるよ!
Screenshot 2021 01 17 0 24 24
↑ベクトルの乗算・除算
マイケル
マイケル
スカラーを2とすると上の図のようになるよ!
向きは変わらずに大きさだけ変わるのが特徴だね!
エレキベア
エレキベア
向きは変えずに速さだけ変える とかで使えそうクマね
マイケル
マイケル
これもプログラムを作ったので触ってみてください!

See the Pen
0116_03
by masarito617 (@masarito617)
on CodePen.

マイケル
マイケル
コードは簡単で下記のようにベクトルとスカラーを引数として渡して計算しています。
// ベクトル*スカラー
function mulVec(v, s) {
  return new Vec(v1.x * s, v1.y * s);
}
v2 = mulVec(v1, scolar);
エレキベア
エレキベア
これで計算は完璧クマ〜〜〜〜

ベクトルの正規化

マイケル
マイケル
そして最後にベクトルの正規化!
これもゲーム開発ではよく使うんだ!
エレキベア
エレキベア
正規化って何クマ??
マイケル
マイケル
正規化はベクトルの大きさを1に揃えることだよ!
大きさを揃えることで方向成分だけを扱えるようにするんだ!
Screenshot 2021 01 17 0 28 36
↑ベクトルの正規化
マイケル
マイケル
正規化は大きさを1に揃えればいいから、

 ベクトル / ベクトルの大きさ

で求めることができるよ!
三角関数よりベクトルの大きさは sqrt(x**2 + y**2)だから、

 v1 / sqrt(v1.x**2 + v1.y**2)

という式になるね!

See the Pen
0116_04
by masarito617 (@masarito617)
on CodePen.

↑ベクトルの正規化 (※マウスクリックで座標を移動できます)

マイケル
マイケル
プログラムは以下のように実装しています!
// ベクトルの正規化
function normalize(v) {
  let l = sqrt(v.x**2 + v.y**2);
  return new Vec(v.x/l, v.y/l);
}

  // 正規化ベクトル
  let nomVec = normalize(vec);
マイケル
マイケル
正規化処理で方向のみ求めてスカラーをかけることで、
方向・大きさを指定することができるので、覚えておきましょう!
エレキベア
エレキベア
テストに出るクマね
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おわりに

マイケル
マイケル
というわけで今回はベクトルについてでした!
どうだったかな?
エレキベア
エレキベア
数学といえど一つ一つやったら
簡単だったクマ〜〜〜〜
マイケル
マイケル
基礎の基礎だからね!
これからどんどん踏み込んでいくぞ〜〜〜!!
エレキベア
エレキベア
や、やったるクマ〜〜〜〜〜
マイケル
マイケル
それでは今日はこの辺で!
アデュ〜〜〜!!
エレキベア
エレキベア
クマ〜〜〜〜

【ゲーム数学】第一回 p5.jsで学ぶゲーム数学「二次元ベクトル」 〜完〜

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